神奇的数学：缺8数

含义

12345679没有8被称为“缺8数”

外文名Missing 8 number

神奇的清一色！

12345679×9=111111111＿ 12345679×18=222222222 12345679×27=333333333＿12345679×36=44444444412345679×45=555555555＿ 12345679×54=66666666612345679×63=777777777＿ 12345679×72=88888888812345679×81=999999999

也就是：

12345679×9=111111111＿ 12345679×9×2=111111111×212345679×9×3=111111111×3＿ 12345679×9×4=111111111×412345679×9×5=111111111×5 ＿12345679×9×6=111111111×612345679×9×7=111111111×7 ＿12345679×9×8=111111111×812345679×9×9=111111111×9

三位一体

缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数的数（12起至78），可以得到“三位一体”，例如：

12345679×12=14814814812345679×15=18518518512345679×21=25925925912345679×24=29629629612345679×30=37037037012345679×33=40740740712345679×39=48148148112345679×42=51851851812345679×48=59259259212345679×51=62962962912345679×57=70370370312345679×60=74074074012345679×66=81481481412345679×69=85185185112345679×75=92592592512345679×78=962962962等

轮流休息

当乘数不是9或3的倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同，缺少1个数字，而且存在着明确的规律。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。

12345679×1=12345679（缺0和8）　

12345679×2=24691358（缺0和7）

12345679×4=49382716（缺0和5）

12345679×5=61728395（缺0和4）

12345679×7=86419753（缺0和2）

12345679×8=98765432（缺0和1）

乘数在[19，26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。以上乘积中仍不缺3，6，9，但再也不缺0了，而缺少的另一个数与前面的类似——按大小的次序各出现一次。乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，既不多也不少，实在有趣。乘数在[19～26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。

12345679×19=234567901（缺8）　

12345679×20=246913580（缺7）

12345679×22=271604938（缺5）

12345679×23=283950617（缺4）

12345679×25=308641975（缺2）

12345679×26=320987654（缺1）

一以贯之

当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。例如：

乘数为9的倍数12345679×243=2999999997只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。

乘数为3的倍数，但不是9的倍数12345679×84=1037037036只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现“三位一体”。

乘数为3K+1或3K+2型12345679×98=1209876542表面上看来，乘积中出现相同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，仍是轮流“休息”。

走马灯

当缺8数乘以19时，其积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。例如：12345679×19=23456790112345679×28=34567901212345679×37=45679012312345679×46=567901234深入的研究显示，当乘数为一个公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”的现象。例如：12345679×8=09876543212345679×17=20987654312345679×26=32098765412345679×35=432098765现在，我们又把乘数依次换为10，19，28，37，46，55，64，73（它们组成公差为9的等差数列）：12345679×10=12345679012345679×19=23456790112345679×28=34567901212345679×37=45679012312345679×46=56790123412345679×55=67901234512345679×64=79012345612345679×73=901234567以上乘积全是“缺8数”！数字1，2，3，4，5，6，7，9像走马灯似的，依次轮流出现在各个数位上。

回文结对

回文缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：12345679×4=4938271612345679×5=61728395前一式的数颠倒过来读，正好就是后一式的积数。（虽有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中应有之义）这样的“回文结对，携手并进”现象，对（13、14）（22、23）（31、32）（40、41）等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如：12345679×13=16049382712345679×14=17283950612345679×22=27160493812345679×23=28395061712345679×67=82716049312345679×68=839506172前一式的数颠倒过来读，正好是后一式的积数。（前一式的积首位移到末位再颠倒过来读，并5代以4）

遗传因子

“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特征。所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。例如，506172839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。我们看到，506172839×3=1518518517。将乘积中最左边的数1加到最右边的7上之后，得到8。如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。

回文现象

继续做乘法：12345679×9=111111111

12345679×99=1222222221

12345679×999=12333333321

12345679×9999=123444444321

12345679×99999=1234555554321

12345679×999999=12345666654321

12345679×9999999=123456777654321

12345679×99999999=1234567887654321

12345679×999999999=12345678987654321

奇迹出现了！等号右边全是回文数（从左读到右或从右读到左，同一个数）。而且，这些回文数全是“阶梯式”上升和下降，神奇、优美、有趣！因为12345679=333667×37，所以“缺8数”是一个合数。“缺8数”和它的两个因数333667、37，这三个数之间有一种奇特的关系。一个因数333667的首尾两个数3和7、就组成了另一个因数37；而“缺8数”本身数字之和1+2+3+4+5+6+7+9也等于37。可见“缺8数”与37天生结了缘。更令人惊奇的是，把1/81化成小数，这个小数也是“缺8数”：1/81=0.012345679012345679012345679……为什么别的数字都不缺，唯独缺少8呢？原来1/81=1/9×1/9=0.1111…×0.11111….这里的0.1111…是无限小数，在小数点后面有无穷多个1。“缺8数”的奇妙性质，集中体现在大量地出现数学循环的现象上，而且这些循环非常有规律，令人惊讶。“缺8数”的奇特性质，早就引起了人们的浓厚兴趣。而它其中还有多少奥秘，人们一定会把它全部揭开。

追本求源

缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为：1/81=0.012345679012345679012345679……，缺8数和1/81的循环节有关。在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？我们看到，1/81=1/9×1/9，把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9=0.111111111……1/9×1/9，即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看：很明显，11的平方=121，111的平方=12321，……，直到111111111的平方=12345678987654321。但无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为：1/81×9=1/9=0.111111111……缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为：1/81×3=1/27=0.037037037……，一开始就出现了三位的循环节。缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1，自然就出现“走马灯”了。循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微的结构。

其他类型

也许有人以为缺八数是10进制下的特有情况，但事实是，在所有进制下都有这种情况出现。8进制中缺“8”数为：123457满足：123457（8）×7（8）=1111111（8）16进制中缺“8”数为：12345679abcdf(16)满足：12345679abcdf(16)×f(16)=111111111111111(16)如前所述，缺8数的出现与循环小数有密切的联系。在任何一种进制中，1除以最大的个位数，得到的都是0.1111...无限循环的小数，缺8数的全部性质理论上应该都能由此推出。可以认为，缺8数的性质是由进制的规则决定的，是进制性质的反应。